Question

5．已知函数$f（x）={x^2}-\frac{2}{3}a{x^3}（{a＞0，x∈R}）$
（1）求f（x）的单调区间和极值．
（2）若g（x）=f（x）-1有三个零点，求实数a的取值范围．
（3）若对?x₁∈（2，+∞），?x₂∈（1，+∞），使得f（x₁）•f（x₂）=1，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（2）问题转化为f（x）=1有三个不同实根，根据函数的单调性求出a的范围即可；
（3）通过讨论a的范围，得到函数的单调性，结合集合的包含关系从而确定a的范围即可．

解答 解：（1）∵f'（x）=2x-2ax²=2x（1-ax）∵a＞0，令f'（x）=0得x=0或$x=\frac{1}{a}$

x	（-∞，0）	0	$（{0，\frac{1}{a}}）$	$\frac{1}{a}$	$（{\frac{1}{a}，+∞}）$
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↓	极小值	↑	极大值	↓

∴f（x）减区间（-∞，0），$（{\frac{1}{a}，+∞}）$
增区间$（{0，\frac{1}{a}}）$∴x=0时，f（x）取极小值，且f（0）=0，x=a时，f（x）取极大值，且$f（{\frac{1}{a}}）=\frac{1}{{3{a^2}}}$．
（2）若g（x）=0有三个根，即f（x）=1有三个不同实根，
由（1）知，$\frac{1}{{3{a^2}}}＞1$得$0＜a＜\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
则a的取值范围为$（{0，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）$．
（3）∵$f（0）=f（{\frac{3}{2a}}）=0$及由（1）知：
当$x∈（{0，\frac{3}{2a}}）$时，f（x）＞0；$x∈（{\frac{3}{2a}，+∞}）$时，f（x）＜0．
设集合A={f（x）|x∈（2，+∞）}，$B=\left\{{\frac{1}{f（x）}\left|{x∈（{1，+∞}），f（x）≠0}\right.}\right\}$，
已知“对?x₁∈（2，+∞），?x₂∈（1，+∞），使f（x₁）f（x₂）=1”?A⊆B，
若$\frac{3}{2a}＞2$即$0＜a＜\frac{3}{4}$时，$f（{\frac{3}{2a}}）=0$，∵0∈A，而0∉B，∴不满足A⊆B；
若$1≤\frac{3}{2a}≤2$即$\frac{3}{4}≤a≤\frac{3}{2}$时，f（2）≤0，此时f（x）在（2，+∞）上单调递减，
故A=（-∞，f（2））⊆（-∞，0），此时f（1）＞0，∴B?（-∞，0）满足A⊆B；
若$\frac{3}{2a}＜1$即$a＞\frac{3}{2}$时，有f（1）＜0，此时f（x）在（1，+∞）上单调递减，
故$B=（{\frac{1}{f（1）}，0}）$，A=（-∞，f（2）），∴不满足A⊆B．
综上所述，a的取值范围为$[{\frac{3}{4}，\frac{3}{2}}]$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．