Question

【题目】已知函数f（x）=x2+alnx（a为实常数）
（Ⅰ）若a=﹣2，求证：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；
（Ⅱ）求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；
（Ⅲ）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣2时，f（x）=x2﹣2lnx，x∈（0，+∞），

则f′（x）=2x﹣ = （x＞0）

由于f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，

故函数在（1，+∞）上是增函数；

（Ⅱ）f′（x）=2x+ = （x＞0），

当x∈[1，e]时，2x2+a∈[a+2，a+2e2]．

①若a≥﹣2，f′（x）在[1，e]上非负（仅当a=﹣2，x=1时，f′（x）=0），

故函数f（x）在[1，e]上是增函数，此时[f（x）]min=f（1）=1．

②若﹣2e2＜a＜﹣2，当x= 时，f′（x）=0；

当1≤x＜ 时，f′（x）＜0，此时f（x）是减函数；

当 ＜x≤e时，f′（x）＞0，此时f（x）是增函数．

故[f（x）]min=f（ ）= ln（﹣ ）﹣ ．

③若a≤﹣2e2，f'（x）在[1，e]上非正（仅当a=﹣2e2，x=e时，f'（x）=0），

故函数f（x）在[1，e]上是减函数，此时[f（x）]min=f（e）=a+e2．

综上可知，当a≥﹣2时，f（x）的最小值为1，相应的x值为1；

当﹣2e2＜a＜﹣2时，f（x）的最小值为 ln（﹣ ）﹣ ，相应的x值为 ；

当a≤﹣2e2时，f（x）的最小值为a+e2，相应的x值为e．

（Ⅲ）不等式f（x）≤（a+2）x，可化为a（x﹣lnx）≥x2﹣2x．

∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x且等号不能同时取，所以lnx＜x，即x﹣lnx＞0，

因而 （x∈[1，e]）

令 （x∈[1，e]），则 ，

当x∈[1，e]时，x﹣1≥0，lnx≤1，x+2﹣2lnx＞0，

从而g′（x）≥0（仅当x=1时取等号），所以g（x）在[1，e]上为增函数，

故g（x）的最小值为g（1）=﹣1，所以a的取值范围是[﹣1，+∞）．

【解析】（Ⅰ）利用导数证明函数的单调性，导数大于0，函数单调递增。
（Ⅱ）利用导数研究函数的单调性，最值情况。注意分3种情况①若a≥﹣2②若﹣2e2＜a＜﹣2③若a≤﹣2e2。
（Ⅲ）不等式f（x）≤（a+2）x成立，可化为成立问题。再利用导数研究其单调性，即可求出。