Question

已知双曲线x²－y²＝2的右焦点为F，过点F的动直线与双曲线相交于A，B两点，点C的坐标是(1,0).

(1)证明：·为常数；

(2)若动点M满足＝＋＋(其中O为坐标原点)，求点M的轨迹方程.

Answer 1

由条件，知F(2,0)，设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

(1)当AB与x轴垂直时， 可知点A，B的坐标分别为(2，)，(2，－)，

此时·＝(1，)·(1，－)＝－1.

当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是y＝k(x－2)(k≠±1)，

代入x²－y²＝2，有(1－k²)x²＋4k²x－(4k²＋2)＝0.

则x₁，x₂是上述方程的两个实根，所以x₁＋x₂＝，x₁x₂＝.

于是·＝(x₁－1)(x₂－1)＋y₁y₂

＝(x₁－1)(x₂－1)＋k²(x₁－2)(x₂－2)

＝(k²＋1)x₁x₂－(2k²＋1)(x₁＋x₂)＋4k²＋1

＝－＋4k²＋1

＝(－4k²－2)＋4k²＋1＝－1.

综上所述，·为常数－1.

(2)设M(x，y)，则＝(x－1，y)，＝(x₁－1，y₁)，＝(x₂－1，y₂)，

＝(－1,0).

由＝＋＋，得

，即.

于是线段AB的中点坐标为(，).

当AB不与x轴垂直时，＝＝，

即y₁－y₂＝(x₁－x₂).

又因为A，B两点在双曲线上，所以x－y＝2，x－y＝2，两式相减，得(x₁－x₂)(x₁＋x₂)＝(y₁－y₂)(y₁＋y₂)，

即(x₁－x₂)(x＋2)＝(y₁－y₂)y.

将y₁－y₂＝(x₁－x₂)代入上式，化简得x²－y²＝4.

当AB与x轴垂直时，x₁＝x₂＝2，求得M(2,0)，也满足上述方程.

所以点M的轨迹方程是x²－y²＝4.