Question

13．设不等式组$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ y≥0\\ y≤-kx+4k\end{array}\right.$在平面直角坐标系中所表示的区域的面积为S，则当k＞1时，$\frac{kS}{k-1}$的最小值为（　　）

• A． 16
• B． 32
• C． 48
• D． 56

Answer 1

分析 先画出不等式组所表示的平面区域，然后用k表示出图形的面积，进而表示出$\frac{kS}{k-1}$，最后利用基本不等式求出它的最值即可．

解答 解：画出不等式组  $\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ y≥0\\ y≤-kx+4k\end{array}\right.$所表示的平面区域，
A（4，0），B（0，4k），
根据题意可知三角形OAB为直角三角形，其面积等于 $\frac{1}{2}$×|OA|×|OB|=8k，
∴$\frac{kS}{k-1}$=$\frac{k×8k}{k-1}$=8（$\frac{1}{k-1}$+k-1+2）≥8（2+2）=32（k＞1）
当且仅当k=2时取等号，
∴$\frac{kS}{k-1}$的最小值为 32，
故选：B．

点评 本题考查简单的线性规划，以及利用基本不等式等知识求最值问题，是中档题．