Question

16．设函数f（x）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$．
（1）计算f（2）+f（$\frac{1}{2}$）、f（-5）+f（-$\frac{1}{5}$）、f（$\sqrt{2}$）+f（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）的值；
（2）根据（1）中的计算结果，归纳猜想关于函数y=f（x）的一般性结论，并给予证明．

Answer 1

分析 （1）分别将对应的x的值代入函数解析式求出即可；（2）根据（1）的结果猜想，通过f（x）的表达式证明即可．

解答 解：（1）f（2）+f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{{2}^{2}}{1{+2}^{2}}$+$\frac{\frac{1}{4}}{1+\frac{1}{4}}$=1，
f（-5）+f（-$\frac{1}{5}$）=$\frac{{（-5）}^{2}}{1{+（-5）}^{2}}$+$\frac{\frac{1}{25}}{1+\frac{1}{25}}$=1，
f（$\sqrt{2}$）+f（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=$\frac{2}{1+2}$+$\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}$=1，
（2）猜想，若x∈R，且x≠0，则f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=1，
证明：f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{{x}^{2}}{1{+x}^{2}}$+$\frac{{（\frac{1}{x}）}^{2}}{1{+（\frac{1}{x}）}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}}{1{+x}^{2}}$+$\frac{1}{{x}^{2}+1}$=1，
∴f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=1．

点评 本题考查了函数的取值问题，考查归纳与猜想，是一道基础题．