Question

设0≤x≤2，若函数y=4x-

1

2

-a•2x+

a2

2

+1的最小值为

3

2

，求a的值．

Answer 1

分析：利用指数函数的性质，将y=4x-

1

2

-a•2^x+

a2

2

+1配方得：y=

1

2

（2^x-a）²+1，x∈[0，2]⇒2^x∈[1，4]，对a分a＜1，1≤a≤4与a＞4讨论，依题意，利用二次函数的单调性即可求得a的值．

解答：解：∵y=4x-

1

2

-a•2^x+

a2

2

+1
=

1

2

•（2^x）²-a•2^x+

a2

2

+1
=

1

2

（2^x-a）²+1
∵x∈[0，2]，
∴2^x∈[1，4]，
∴当a＜1时，y_min=

1

2

（1-a）²+1=

3

2

，
解得a=0或a=2（舍）；
当1≤a≤4时，y最小值为1，不符合题意；
当a＞4由y_min=

1

2

（4-a）²+1=

3

2

，
解得a=5或a=3（舍）；
综上：a=0或a=5．

点评：本题考查复合函数的单调性，着重考查转化思想与分类讨论思想的综合运用，考查运算能力，属于中档题．