Question

【题目】已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为 ，且经过点M（4，1），直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A，B． （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求m的取值范围；
（Ⅲ）若直线l不过点M，求证：直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设椭圆的方程为 ， ∵椭圆的离心率为 ，
∴a2=4b2 ，
又∵M（4，1），
∴ ，解得b2=5，a2=20，故椭圆方程为 ．
（Ⅱ）将y=x+m代入 并整理得
5x2+8mx+4m2﹣20=0，
∵直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A，B
∴△=（8m）2﹣20（4m2﹣20）＞0，解得﹣5＜m＜5．
（Ⅲ）设直线MA，MB的斜率分别为k1和k2 ， 只要证明k1+k2=0．
设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
根据（Ⅱ）中的方程，利用根与系数的关系得： ．

上式的分子=（x1+m﹣1）（x2﹣4）+（x2+m﹣1）（x1﹣4）
=2x1x2+（m﹣5）（x1+x2）﹣8（m﹣1）
=
所以k1+k2=0，得直线MA，MB的倾斜角互补
∴直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形
【解析】（I）设出椭圆的标准方程，根据椭圆的离心率为 ，得出a2=4b2 ， 再根据M（4，1）在椭圆上，解方程组得b2=5，a2=20，从而得出椭圆的方程；（II）因为直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A，B，可将直线方程与椭圆方程消去y得到关于x的方程，有两个不相等的实数根，从而△＞0，解得﹣5＜m＜5；（III）设出A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），对（II）的方程利用根与系数的关系得： ．再计算出直线MA的斜率k1= ，MB的斜率为k2= ，将式子K1+K2通分化简，最后可得其分子为0，从而得出k1+k2=0，得直线MA，MB的倾斜角互补，命题得证．