Question

【题目】在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，长度单位相同，建立极坐标系，已知圆A的参数方程为 （其中θ为参数），圆B的极坐标方程为ρ=2sinθ．
（Ⅰ）分别写出圆A与圆B的直角坐标方程；
（Ⅱ）判断两圆的位置关系，若两圆相交，求其公共弦长．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）圆A的参数方程为 （其中θ为参数），利用平方关系可得圆A：（x﹣1）2+（y+1）2=4．可得圆心A（1，﹣1），半径R=2． 圆B的极坐标方程为ρ=2sinθ，即ρ2=2ρsinθ，利用互化公式可得：圆B：x2+y2﹣2y=0，平方可得：x2+（y﹣1）2=1，可得圆心B（0，1），半径r=1．
（Ⅱ）∵|AB|= = ，而R﹣r=1，R+r=3，
＜3，∴两圆相交，
两个圆的方程相减可得：x﹣2y+1=0．
∴其公共弦长=2 =
【解析】（Ⅰ）圆A的参数方程为 （其中θ为参数），利用平方关系可得圆A的普通方程．圆B的极坐标方程为ρ=2sinθ，即ρ2=2ρsinθ，利用互化公式可得直角坐标方程．（Ⅱ）利用两圆的圆心距离与半径的和差半径即可判断出两圆相交．两个圆的方程相减可得公共弦所在直线方程，利用弦长公式即可得出．