Question

（2009•奉贤区二模）已知：点P与点F（2，0）的距离比它到直线x+4=0的距离小2，若记点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程．
（2）若直线L与曲线C相交于A、B两点，且OA⊥OB．求证：直线L过定点，并求出该定点的坐标．
（3）试利用所学圆锥曲线知识参照（2）设计一个与直线L过定点有关的数学问题，并解答所提问题．

Answer 1

分析：（1）解法（A）：点P与点F（2，0）的距离比它到直线x+4=0的距离小2，所以点P与点F（2，0）的距离与它到直线x+2=0的距离相等．由抛物线定义得：点P在以F为焦点直线x+2=0为准线的抛物线上，由此能求出抛物线方程．
解法（B）：设动点P（x，y），则

(x-2)2+y2

=|x+4|-2．当x≤-4时，（x-2）²+y²=（-x-6）²，此时曲线不存在．当x＞-4时，（x-2）²+y²=（x+2）²，化简得：y²=8x．
（2）设直线L：y=kx+b与抛物线交予点（x₁，y₁），（x₂，y₂），（a）若L斜率存在，设为k，则

y=kx+b y2=8x

，ky2-8y+8b=0，

k≠0 64-32kb≥0

，所以y1y2=

8b

k

，又

y12=8x1 y22=8x2

，得x1x2=

y12y22

64

=

b2

k2

，由此能导出直线为y=k（x-8），所以L过定点（8，0）．
（3）（逆命题）如果直线L过定点（8，0），且与抛物线y²=8x相交于A、B两点，O为坐标原点．求证：

OA

•

OB

=0．   
证明：设其方程为y=k（x-8），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立方程组

y=k(x-8) y2=8x

，消去y，并整理得k²x²-（16k²+8）x+64k²=0，x1+x2=

16k2+8

k2

，x₁x₂=64，y₁y₂=k（x₁-8）•k（x₂-8）=k²x₁x₂-8k²（x₁+x₂）+64k²=-64．所以

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=0．

解答：解：（1）解法（A）：点P与点F（2，0）的距离比它到直线x+4=0的距离小2，所以点P与点F（2，0）的距离与它到直线x+2=0的距离相等．（1分）
由抛物线定义得：点P在以F为焦点直线x+2=0为准线的抛物线上，（1分）
抛物线方程为y²=8x．（2分）
解法（B）：设动点P（x，y），则

(x-2)2+y2

=|x+4|-2．
当x≤-4时，（x-2）²+y²=（-x-6）²，
化简得：y²=8（x+2），显然x≥-2，而x≤-4，此时曲线不存在．
当x＞-4时，（x-2）²+y²=（x+2）²，化简得：y²=8x．
（2）设直线L：y=kx+b与抛物线交予点（x₁，y₁），（x₂，y₂），（a）若L斜率存在，设为k，，则

y=kx+b y2=8x

，ky2-8y+8b=0，

k≠0 64-32kb≥0

，（1分）所以y1y2=

8b

k

，又

y12=8x1 y22=8x2

，得x1x2=

y12y22

64

=

b2

k2

，由OA⊥OB，得

y1

x1

y2

x2

=-1，即

8k

b

=-1，b=-8k，（2分）
直线为y=k（x-8），所以L过定点（8，0）（1分）
（3）（逆命题）如果直线L过定点（8，0），且与抛物线y²=8x相交于A、B两点，O为坐标原点．求证：

OA

•

OB

=0．   
证明：∵直线L过定点（8，0），
∴设其方程为y=k（x-8），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立方程组

y=k(x-8) y2=8x

，消去y，并整理得k²x²-（16k²+8）x+64k²=0，
∴x1+x2=

16k2+8

k2

，x₁x₂=64，
y₁y₂=k（x₁-8）•k（x₂-8）
=k²x₁x₂-8k²（x₁+x₂）+64k²
=-64．
∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=0．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与圆锥曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．