Question

【题目】定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x2+a到直线l：y=x的距离等于曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离，则实数a=

Answer 1

【答案】
【解析】解：圆x2+（y+4）2=2的圆心为（0，﹣4），半径为 ，
圆心到直线y=x的距离为=2 ，
∴曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离为2﹣= ．
则曲线C1：y=x2+a到直线l：y=x的距离等于 ，
令y′=2x=1解得x= ， 故切点为（ ， +a），
切线方程为y﹣（+a）=x﹣即x﹣y﹣+a=0，
由题意可知x﹣y﹣+a=0与直线y=x的距离为 ，
即解得a=或﹣ ．
当a=﹣时直线y=x与曲线C1：y=x2+a相交，故不符合题意，舍去．
故答案为： ．
先根据定义求出曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离，然后根据曲线C1：y=x2+a的切线与直线y=x平行时，该切点到直线的距离最近建立等式关系，解之即可．