分析 (1)由△AF1F2为等腰直角三角形,可得b=c,|PF1|的最小值为a-c=$\sqrt{2}$-1,再由a,b,c的关系,解方程可得a,b,进而得到椭圆的方程;
(2)设直线OP的斜率为y=kx,代入椭圆x2+2y2=2,求得P的坐标,再求过F1作OP的垂线方程,运用点到直线的距离公式,以及直角三角形的射影定理,可得|PM|2=|PO|d,化简整理,即可得到所求范围.
解答 解:(1)由△AF1F2为等腰直角三角形,
可得b=c,
|PF1|的最小值为a-c=$\sqrt{2}$-1,
又a2-c2=b2,
解得a=$\sqrt{2}$,b=c=1,
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y2=1;
(2)设直线OP的斜率为y=kx,
代入椭圆x2+2y2=2,可得
P(-$\sqrt{\frac{2}{1+2{k}^{2}}}$,-k$\sqrt{\frac{2}{1+2{k}^{2}}}$),
过F1(-1,0)与OP的垂线设为y=-$\frac{1}{k}$(x+1),
即有P到垂线的距离为d=$\frac{|1-(1+{k}^{2})\sqrt{\frac{2}{1+2{k}^{2}}}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$,
|OP|=$\sqrt{(1+{k}^{2})•\frac{2}{1+2{k}^{2}}}$,
由三角形MPO为直角三角形,且PO⊥MF1,
即有|PM|2=|PO|d=$\sqrt{(1+{k}^{2})•\frac{2}{1+2{k}^{2}}}$•$\frac{|1-(1+{k}^{2})\sqrt{\frac{2}{1+2{k}^{2}}}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
=|$\sqrt{\frac{2}{1+2{k}^{2}}}$-$\frac{2(1+{k}^{2})}{1+2{k}^{2}}$|,
设t=$\sqrt{1+2{k}^{2}}$(t≥1),即有2k2=t2-1,
则|PM|2=|$\frac{\sqrt{2}}{t}$-$\frac{1+{t}^{2}}{{t}^{2}}$|=|-($\frac{1}{t}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$)2-$\frac{1}{2}$|
=($\frac{1}{t}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$)2+$\frac{1}{2}$,
由0<$\frac{1}{t}$≤1,可得t=$\sqrt{2}$,即k=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$时,|PM|取得最小值$\frac{\sqrt{2}}{2}$;
$\frac{1}{t}$→0时,|PM|→1.
即有|PM|的取值范围是[$\frac{\sqrt{2}}{2}$,1).
点评 本题考查椭圆的方程的求法,注意运用椭圆的性质:椭圆上一点到焦点的距离的最小值为a-c,考查直线和圆的位置关系,考查直线方程的运用和距离公式的运用,考查运算能力,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | {2,4,6,8} | B. | {1,2,5} | C. | {1,2,4,6,8} | D. | {4,6} |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | log3π<0.993<log20.6 | B. | log20.6<log3π<0.993 | ||
C. | 0.993<log20.6<log3π | D. | log20.6<0.993<log3π |
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A. | 1 | B. | 2 | C. | $\frac{5}{2}$ | D. | 3 |
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