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如图,正三棱锥A-BCD中,E在棱AB上,F在棱CD上.并且
AE
EB
=
CF
FD
(0<λ<+∞),设α为异面直线EF与AC所成的角,β为异面直线EF与BD所成的角,则α+β的值是(  )
分析:先证明正三棱锥的对棱AC与BD垂直,此结论由线面垂直得来,再由异面直线所成的角的定义,在同一平面内找到α与β,最后在三角形中发现α+β=
π
2
,从而做出正确选择.
解答:解:如图,取线段BC上一点H,使
CH
HB
取BD中点O,连接AO,CO
∵正三棱锥A-BCD中每个侧面均为等腰三角形,底面△BCD为正三角形,∴BD⊥AO,BD⊥CO,∵AO∩CO=O,∴BD⊥平面AOC,∵AC?平面AOC∴BD⊥AC
AE
EB
=λ(λ>0)
CH
HB
,∴EH∥AC,∵
CF
FD
=λ(λ>0)
CH
HB
,∴HF∥BD
∴∠HEF就是异面直线EF与AC所成的角,∠HFE就是异面直线EF与BD所成的角,∴∠EHF就是异面直线BD与AC所成的角,
∴α=∠HEF,β=∠HFE,∠EHF=90°
∴α+β=
π
2

故选C
点评:本题考察了异面直线所成的角的作法和算法,正三棱锥的性质,解题时要认真体会将空间问题转化为平面问题的过程
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源:数学教研室 题型:013

如图.正三棱锥A-BCD中,E是AB上一点,F在棱CD上,并使,设a 为EF与AC所成角,b 为EF与BD所成的角,则a +b 等于

[  ]

A.
B.
C.
D.

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科目:高中数学 来源: 题型:013

如图.正三棱锥ABCD中,EAB上一点,F在棱CD上,并使,设aEFAC所成角,bEFBD所成的角,则ab 等于

[  ]

A

B

C

D

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科目:高中数学 来源:江西省上高二中2009届高三下学期第七次月考数学理试题 题型:013

如图,正三棱锥A-BCD中,点E在棱AB上,点F在棱CD上,且,若异面直线EF和AC所成的角为,则异面直线EF与BD所成的角为

[  ]

A.

B.

C.

D.无法确定

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图:正三棱锥A—BCD中,E、F分别在棱AB、AD上,AE∶EB=AF∶FD=1∶2,且·=0,则∠BAC的余弦值为(    )

A.           B.             C.                  D.

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科目:高中数学 来源:2010年湖北省襄樊五中高三五月调考数学试卷(文科)(解析版) 题型:选择题

如图,正三棱锥A-BCD中,E在棱AB上,F在棱CD上.并且(0<λ<+∞),设α为异面直线EF与AC所成的角,β为异面直线EF与BD所成的角,则α+β的值是( )

A.
B.
C.
D.与λ的值有关

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