Question

18．函数y=$\frac{{x}^{2}-3x+3}{x-1}$（x＞1）的值域为[1，+∞）．

Answer 1

分析 根据分式的性质结合基本不等式进行求解即可．

解答 解：令t=x-1，∵x＞1，∴t＞0，
则x=t+1，
则y=$\frac{{x}^{2}-3x+3}{x-1}$=$\frac{（t+1）^{2}-3（t+1）+3}{t}$=$\frac{{t}^{2}-t+1}{t}$=t+$\frac{1}{t}$-1，
∵t＞0，
∴t+$\frac{1}{t}$-1$≥2\sqrt{t•\frac{1}{t}}$-1=2-1=1，
当且仅当t=$\frac{1}{t}$，即t=1时，取等号，
故函数y的最小值为1，
即函数的值域为[1，+∞），
故答案为：[1，+∞）

点评 本题主要考查函数值域的求解，利用换元法结合基本不等式的应用是解决本题的关键．