Question

已知在公比为实数的等比数列{a_n}中，a₃=4，且a₄，a₅+4，a₆成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求

2an+1

Sn

的最大值．

Answer 1

分析：（I）先由等比数列的通项公式把已知条件表示为2（4q²+4）=4q+4q³，解方程可求q，通项公式a_n
（II）利用等比数列的前n项和公式可求s_n，代入整理可得，

2an+1

sn

=1+

2

2n-1

，从而可求最大值．

解答：解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公比为q（q∈R），依题意可得2（a₅+4）=a₄+a₆，（2分）
即2（4q²+4）=4q+4q³，整理得，（q²+1）（q-2）=0（4分）
∵q∈R，∴q=2，a₁=1．∴数列{a_n}的通项公式a_n=2^n-1（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=2^n-1，∴S_n=2ⁿ-1∴

2an+1

Sn

=

2n+1

2n-1

=1+

2

2n-1

（10分）
∵n≥1，∴2ⁿ-1≥1，∴1+

2

2n-1

≤3，
∴当n=1时，

2an+1

Sn

有最大值3．（12分）

点评：本题考查了等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，及利用数列的单调性求数列的最值，属于基本知识的综合运用，属于中档试题．