Question

下面有五个命题：
①函数y=sin⁴x-cos⁴x的最小正周期是π．
②终边在y轴上的角的集合是{a|a=

kπ

2

，k∈Z|．
③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点．
④把函数y=3sin(2x+

π

3

)的图象向右平移

π

6

得到y=3sin2x的图象
⑤函数y=sin(x-

π

2

)在（0，π）上是减函数
其中真命题的序号是

 

（（写出所有真命题的编号））

Answer 1

分析：①函数y=sin⁴x-cos⁴x=-cos2x，可求其最小正周期是π；
②终边在y轴上的角的集合是{a|a=kπ+

π

2

，k∈Z}；
③构造函数g（x）=x-sinx可以利用导数法导数法判断；
④准确把握三角函数的图象平移即可判断；
⑤可以将y=sin(x-

π

2

)转化为y=-cosx即可迅速作出判断．

解答：解：∵函数y=sin⁴x-cos⁴x=-cos2x，最小正周期是T=π，故①正确；
终边在y轴上的角的集合是{a|a=kπ+

π

2

，k∈Z}；故②不正确；
由

y=sinx y=x

得sinx=x，令g（x）=x-sinx，g′（x）=1-cosx≥0，故g（x）=x-sinx在R上单调递增，当x=0时g′（0）=0，
∴g（x）_min=g（0）=0，即在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有一个公共点，故③不正确，
函数y=3sin(2x+

π

3

)的图象向右平移

π

6

得到y=3sin[2(x-

π

6

)+

π

3

]=3sin2x，故④正确；
∵y=sin(x-

π

2

)=-cosx在（0，π）上是增函数，故⑤不正确．
故答案为：①④．

点评：本题考查三角函数的图象与性质，难点在于对③的判断，可以通过导数法解决，该题综合性强，属于难题．