Question

5．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{AO}$，且|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{AC}$|，则△ABC的面积为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． 2$\sqrt{3}$
• D． 1

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{AO}$，利用向量加法的几何意义得出△ABC是以A为直角的直角三角形，又|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{AC}$|，从而可求|AC|，|AB|的值，利用三角形面积公式即可得解．

解答 解：由于$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{AO}$，由向量加法的几何意义，O为边BC中点，
∵△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，
∴三角形应该是以BC边为斜边的直角三角形，$∠BAC=\frac{π}{2}$，斜边BC=2，
又∵|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{AC}$|，
∴|AC|=1，|AB|=$\sqrt{B{C}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×|AB|×|AC|$=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故选：B．

点评 本题主要考查了平面向量及应用，三角形面积的求法，属于基本知识的考查．