Question

已知函数在区间[-1，1]上单调递减，在区间[1，2]上单调递增，
（1）求实数a的值；
（2）若关于x的方程f（2^x）=m有三个不同实数解，求实数m的取值范围；
（3）若函数y=log₂[f（x）+p]的图象与坐标轴无交点，求实数p的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵函数
∴f’（x）=-x³+2x²+2ax-2
依题意，f（x） 在区间[-1，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，
所以f（x）在x=1处有极值，即f’（1）=-1+2+2a-2=0，解出a=，
（2）由（1）得
f’（x）=-x³+2x²+x-2
令t=2^x，（t＞0）则t=2^x为增函数，每个x对应一个t，
而由题意：f（2^x）=m有三个不同的实数解，就是说，关于t的方程f（t）=m在t＞0时有三个不同的实数解．
∵f’（t）=-t³+2t²+t-2=-（t+1）（t-1）（t-2）
令f’（t）≥0以求f（t）的增区间，得-（t+1）（t-1）（t-2）≥0，保证t＞0，求得f（t）的增区间为1≤t≤2
令f’（t）≤0以求f（t）的减区间，得-（t+1）（t-1）（t-2）≤0，保证t＞0，求得f（t）的减区间为0＜t≤1或t≥2
所以f（t），
在t=1时有极小值，极小值为f（1）=，
在t=2时有极大值，极大值为f（2）=，
在t趋向于0时，f（t）趋向于-2．
∵＜＜-2
f（t）在t＞0上的图象为双峰形的一半，则要使f（t）=m有三个不同的实数解，须-＜m＜
（3）∵函数y=log₂[f（x）+p]的真数部分为f（x）+p，
∴f（x）+p＞0，
要使函数y=log2[f（x）+p]的图象与x轴无交点，只有f（x）+p≠1，
由（2）知，f（x）的最大值为f（-1）=-，即f（x）≤-
所以f（x）+p≤p-，要使f（x）+p≠1，只有p-＜1，才能满足题
意，解之得，p＜
分析：（1）由已知中函数在区间[-1，1]上单调递减，在区间[1，2]上单调递增根据函数取零点的条件，可得f’（1）=0，由此构造关于实数a的方程，解方程即可得到答案．
（2）由（1）中结论，我们可以求出函数f（x）的解析式及其导函数的解析式，进而分析出函数的单调性和极值，再根据方程f（2^x）=m有三个不同实数解，即f（x）=m有三个不同的正实数解，求出满足条件的实数m的取值范围；
（3）根据函数y=log₂[f（x）+p]的图象与坐标轴无交点，则f（x）+p＞0，f（x）+p≠1，构造关于P的不等式组，解不等式组求出实数p的取值范围．
点评：本题考查的知识点是函数取极值的条件，函数与方程的综合应用，根的存在性及根的个数判断，利用导数研究函数的单调性，指数函数的性质，对数函数的性质，是对函数性质及解答方法比较综合的考查，熟练掌握基本初等函数的性质，会使用导数法求函数的单调性和极值点是解答本题的关键．