Question

已知边长都为1的正方形ABCD与DCFE所在的平面互相垂直，点P，Q分别是线段BC，DE上的动点（包括端点），PQ=

2

．设线段PQ中点的轨迹为l，则l的长度为（　　）

• A、2
• B、

  2

  2

• C、

  π

  2

• D、

  π

  4

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：由题意作出图形，建立空间直角坐标系，设出P、Q、M的坐标，由中点坐标公式把P、Q的坐标用M的坐标表示，然后利用PQ=

2

列式，求出PQ中点的轨迹为四分之一圆周，则l的长度可求．

解答：解：如图，

以DA、DC、DE所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
设P（m，1，0）（0≤m≤1），Q（0，0，n）（0≤n≤1），M（x，y，z），
则由中点坐标公式得：x=

m

2

，y=

1

2

，z=

n

2

．
∴m=2x，n=2z ①，
∵|PQ|=

m2+n2+1

=

2

，
∴m²+n²=1 ②，
把①代入②得，4x²+4z²=1．
即x2+z2=

1

4

．
∵0≤m≤1，0≤n≤1，
∴0≤x≤

1

2

，0≤y≤

1

2

．
∴PQ中点M的轨迹方程为

x2+z2= 1 4 (0≤x≤ 1 2 ，0≤z≤ 1 2 ) y= 1 2

．
轨迹l为在垂直于y轴的平面内，半径为

1

2

的四分之一圆周．
∴l的长度为

1

4

×2π×

1

2

=

π

4

．
故选：D．

点评：本题考查了轨迹方程，训练了利用空间坐标系求解动点的轨迹，体现了参数思想在解题中的应用，考查了学生的空间想象能力，属难题．