Question

（理）设椭圆

x2

m+1

+y2=1的两个焦点是F₁（-c，0）、F₂（c，0）（c＞0），且椭圆上存在点M，使

MF1

•

MF2

=0．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若直线l：y=x+2与椭圆存在一个公共点E，使得|EF₁|+|EF₂|取得最小值，求此最小值及此时椭圆的方程；
（3）是否存在斜率为k（k≠0）的直线l，与条件（Ⅱ）下的椭圆交于A、B两点，使得经过AB的中点Q及N（0，-1）的直线NQ满足

NQ

•

AB

=0？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由

MF1

•

MF2

=0可得|MF₁|²+|MF₂|²=4m，再结合基本不等式列不等关系，即可解得实数m的取值范围；
（2）将直线的方程与椭圆C的方程组成方程组，消去y得到关于x的方程，再根据△≥0得m的取值范围，最后根据函数的值域求出|EF₁|+|EF₂|取得最小值及此时椭圆的方程即可；
（3）设两点设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），中点Q（x，y），直线l的方程为y=kx+m，先将A，B两点的坐标代入椭圆方程，两式相减得Q（x，y）的轨迹方程，求得点Q的坐标，最后根据

NQ

•

AB

=0即可求出k的取值范围．

解答：解（1）依题意：F₁F₂为直径的圆与椭圆有交点，
∴|OM|=

1

2

|F1F2|=(m+1)-1=m≥1．
（2）将y=x+2代入x²+（m+1）y²-m-1=0中
得：（m+2）x²+4（m+1）x+3（m+1）=0，
∴△=16（m+1）²-12（m+2）（m+1）=4（m+1）（m-2）≥0，又m≥1，
∴m≥2．
∴m=2时|EF1|+|EF2|=2

m+1

取最小值2

3

．此时椭圆的方程为

x2

3

+y2=1．
（3）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），直线l的方程为y=kx+m，
代入椭圆的方程：x²+3y²-3=0中得：（3k²+1）x²+6kmx+3（m²-1）=0．
∴△=36k²m²+12（1-m²）（3k²+1）=12（3k²+1-m²）＞0，
即3k²+1-m²＞0①
且

x1+x2

2

=-

3km

3k2+1

，

y1+y2

2

=k•

x1+x2

2

+m=

m

3k2+1

．
即Q(-

3km

3k2+1

，

m

3k2+1

)．
又

NQ

•

AB

=0，
∴kNQ=-

1

k

，直线NQ的方程为y=-

1

k

x-1．
∴

m

3k2+1

=(-

1

k

)(-

3km

3k2+1

)-1，化简得：m=

3k2+1

2

②
由①②得：k²＜1，
∴存在适合条件的直线l，其斜率k的取值范围是（-1，0）∪（0，1）．

点评：本题主要考查了椭圆的定义和标准方程、直线与圆锥曲线的综合问题、平面向量数量积的运算等．直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．