Question

9．若函数y=f（x）定义域是R．则
①函数y=f（x）与函数y=-f（x）的图象关于x轴对称；
②函数y=f（x-1）与函数y=f（1-x）的图象关于直线x=1对称：
③函数y=f（x-1）与y=-f（1-x）的图象关于（$\frac{1}{2}$，0）对称．
④函数y=f（2x+1）的图象与y=f（3-2x）的图象关于直线x=2对称．

Answer 1

分析 根据函数y=f（a+x）与函数y=f（b-x）的图象关于直线x=$\frac{a+b}{2}$对称，定义在R上的函数f（x）关于点（a，b）对称的充要条件是f（x）+f（2a-x）=2b

解答 解：①∵函数y=f（x）与函数y=-f（x）的图象关于x轴对称；
②∵函数y=f（x-1）的图象关于直线x=a对称的图象解析式为
y=f[（2a-x）-1）]=f（2a-1-x）
令2a-1=1
得a=1
即函数y=f（x-1）和y=f（1-x）的图象关于直线x=1对称；
③：定义在R上的函数f（x）关于点（a，b）对称的充要条件是f（x）+f（2a-x）=2b
∵f（x-1）=-f（1-x），
∴f（x）+f（1-x）=0，
∴2a=1，2b=0即a=$\frac{1}{2}$，b=0，
∴函数f（x）关于点（$\frac{1}{2}$，0）对称：
④f（2x+1）=f（3-2x），
∴x=$\frac{1}{2}$（1+3）=2，
∴函数y=f（2x+1）的图象与y=f（3-2x）的图象关于直线x=2对称．
故答案为：①x轴，②直线x=1，③（$\frac{1}{2}$，0），④直线x=2．

点评 本题主要考查了抽象函数及其应用，以及函数图象的对称等有关知识，属于基础题．