Question

12．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（α＞b＞0）的长半轴长为2，离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（I）求椭圆C的方程；
（2）直线y=kx+2与椭圆C交于A，B两个不同点，点E（1，0）在以AB为直径的圆的外部，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可知a，结合离心率求得c，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．联立直线方程和椭圆方程，得（1+4k²）x²+16kx+12=0，利用韦达定理得到A，B两点横坐标和纵坐标的和与积，把已知条件转化为向量夹角为锐角，进一步代入坐标运算求出k的取值范围．

解答 解：（1）由题意可得，a=2，又$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴c=$\sqrt{3}$．
则b²=a²-c²=4-3=1．
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²+16kx+12=0，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{16k}{1+4{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{12}{1+4{k}^{2}}$，
由△=（16k）²-4•（1+4k²）•12＞0，得${k}^{2}＞\frac{3}{4}$，即$k＜-\frac{\sqrt{3}}{2}$或$k＞\frac{\sqrt{3}}{2}$．①
又点E（1，0）在以AB为直径的圆的外部，∴∠AOB为锐角，即cos∠AEB＞0，
∴$\overrightarrow{EA}•\overrightarrow{EB}＞0$，即（x₁-1，y₁）•（x₂-1，y₂）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1+y₁y₂＞0，
又y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4，
∴x₁x₂+y₁y₂-（x₁+x₂）+1=（1+k²）x₁x₂+（2k-1）（x₁+x₂）+5
=（1+k²）•$\frac{12}{1+4{k}^{2}}$+（2k-1）•（-$\frac{16k}{1+4{k}^{2}}$）+5
=$\frac{16k+17}{1+4{k}^{2}}＞0$，
∴k$＞-\frac{17}{16}$．②
综①②可知$-\frac{17}{16}＜k＜-\frac{\sqrt{3}}{2}$，或k$＞\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴k的取值范围是$（-\frac{17}{16}，-\frac{\sqrt{3}}{2}）∪（\frac{\sqrt{3}}{2}，+∞）$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，注意等价转化思想和函数与方程思想的合理运用，是中档题．