Question

已知函数f（x）=-4cos²x+4cosx+1-a，若关于x的方程在区间[-

π

4

，

2π

3

]上有解，则a的取值范围是（　　）

• A、[-8，0]
• B、[-3，5]
• C、[-4，5]
• D、[-3，2

  2

  -1]

Answer 1

分析：令cosx=t，-1≤t≤1，则 函数f（x）=-4t²+4t+1-a=0，由-

π

4

≤x≤

2π

3

，得-

1

2

≤t≤1，即求函数a=-4t²+4t+1，在[-

1

2

，1]上的值域，根据函数 a=-4t²+4t-3的性质求出a的取值范围．

解答：解：令cosx=t，则函数f（x）=-4cos²x+4cosx+1-a=-4t²+4t+1-a．
∵-

π

4

≤x≤

2π

3

，∴-

1

2

≤cosx≤1，即-

1

2

≤t≤1．
故方程-4t²+4t+1-a=0 在[-

1

2

，1]上有解．
即求函数a=-4t²+4t+1  在[-

1

2

，1]上的值域．
又函数a=-4t²+4t+1 在[-

1

2

，

1

2

]上是单调增函数，在[

1

2

，1]上是单调减函数，
∴t=

1

2

时，a 有最大值等于2，t=-

1

2

时，a 有最小值等于-2，故-2≤a≤2，
故选 C．

点评：本题考查余弦函数的定义域和值域，二次函数的性质，把问题转化为求函数 a=4t²+4t-3  在[-

1

2

，1]上的值域，是解题的关键．