Question

双曲线x²-y²=8的左右焦点分别为F₁，F₂，点P_n（x_n，y_n）（n=1，2，3…）在其右支上，且满足|P_n+1F₂|=|P_nF₁|，P₁F₂⊥F₁F₂，则x₂₀₁₂的值是（　　）

• A．8040

  2

• B．80484

  2

• C．8048
• D．8040

Answer 1

分析：根据题意可求得P₁点的横坐标x₁（就是右焦点F₂的横坐标），利用两点间的距离公式由|P_n+1F₂|=|P_nF₁|可求得x_n+1-x_n=4，从而利用等差数列的通项公式即可求得x₂₀₁₂的值．

解答：解：∵a²=8，b²=8，
∴c=4，即x₁=4，又|P_n+1F₂|=|P_nF₁|，
∴(xn+1-4)2+yn+12=(xn+4)2+yn2，
即xn+12-8x_n+1+16+yn+12=xn2+8x_n+16+yn2，
∴（x_n+1+x_n）（x_n+1-x_n-4）=0，
由题意知，x_n＞0，
∴x_n+1-x_n=4，
∴{x_n}是以4为首项，4为公差的等差数列，
∴x₂₀₁₂=x₁+2011×4=4+8044=8048．
故选C．

点评：本题考查双曲线的简单性质，突出考查等差数列的通项公式，通过分析运算得到x_n+1-x_n=4是关键，也是难点，奥差化归思想与运算能力，属于中档题．