Question

如图，F₁，F₂是双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F₁的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点．若△ABF₂为等边三角形，则双曲线的离心率为（　　）

• A、

  6

  2

• B、

  3

• C、

  5 +1

  2

• D、

  7

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,解三角形,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由△BAF₂为等边三角形，设AF₂=t，则AB=BF₂=t，再由双曲线的定义，求得t=4a，再由余弦定理可得a，c的关系，结合离心率公式即可计算得到．

解答： 解：由△BAF₂为等边三角形，
设A为右支上一点，且AF₂=t，则AB=BF₂=t，
由双曲线的定义可得，
AF₁-AF₂=2a，BF₂-BF₁=2a，AF₁=AB+BF₁，
即有t+2a=2t-2a，
解得，t=4a，
AF₁=6a，AF₂=4a，F₁F₂=2c，
由余弦定理可得，
F₁F₂²=AF₁²+AF₂²-2AF₁•AF₂cos60°，
即有4c²=36a²+16a²-2×6a×4a×

1

2

，
即为4c²=28a²，
则有e=

c

a

=

7

．
故选D．

点评：本题考查双曲线的离心率的求法，考查双曲线的定义的运用，考查余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题．