Question

如图，在棱长都等于1的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥平面ABC，D、E分别为AA₁、B₁C的中点．
（Ⅰ）求证：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）求三棱锥B₁-BDE的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据线面平行的判定定理证明DE∥平面ABC；
（Ⅱ）根据棱锥的体积公式求三棱锥B₁-BDE的体积．

解答：解：（Ⅰ）证明：取BC中点G，连结AG，EG，
∵G，E分别为CB，CB₁的中点，
∴EG∥

1

2

BB₁，…2 分∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁，AA₁∥BB₁，AA₁=BB₁，D为AA₁中点
∴AD∥BB₁，AD=

1

2

BB₁，
∴EG∥AD，EG=AD，
∴四边形ADEG为平行四边形
∴AG∥DE   
又∵AG?平面ABC，DE?平面ABC，
∴DE∥平面ABC；
（Ⅱ）∵BB₁⊥平面ABC，AG?平面ABC，
∴AG⊥BB₁，
∵AB=BC，G为BC中点，∴AG⊥BC∴AG⊥平面B₁BE
又DE∥AG，DE=AG，
∴DE⊥平面B₁BE且DE=AG=

3

2

∵E为B₁C中点，
∴S△BB1E=

1

2

S△B1BC=

1

2

×(

1

2

BC×BB1)=

1

2

×(

1

2

×1×1)=

1

4

∴三棱锥B₁-BDE的体积VB1-BDE=VD-B1BE=

1

3

S△B1BE•DE=

1

3

×

1

4

×

3

2

=

3

24

．

点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，以及三棱锥的体积的计算，要求熟练掌握相应的判定定理和体积公式，考查学生的计算能力．