Question

（2010•朝阳区二模）设A是满足下列两个条件的无穷数列{a_n}的集合：
①

an+an+2

2

≤an+1；     ②a_n≤M．其中n∈N^*，M是与n无关的常数．
（Ⅰ）若{a_n}是等差数列，S_n是其前n项的和，a₃=4，S₃=18，证明：{S_n}∈A；
（Ⅱ）对于（Ⅰ）中数列{a_n}，正整数n₁，n₂，…，n_t…（t∈N^*）满足7＜n₁＜n₂＜…＜n_t＜…（t∈N^*），并且使得a6，a7，an1，an2，…，ant，…成等比数列． 若b_m=10m-n_m（m∈N^*），则{b_m}∈A是否成立？若成立，求M的取值范围，若不成立，请说明理由；
（Ⅲ）设数列{c_n}的各项均为正整数，且{c_n}∈A，证明：c_n≤c_n+1．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差是d，则a₁+2d=4，3a₁+3d=18，解得a₁=8，d=-2，所以Sn=na1+

n(n-1)

2

d=-n2+9n．由此能够证明{S_n}∈A．
（Ⅱ）由a₁=8，d=-2，知a_n=8-2（n-1）=10-2n，因此a₆=-2，a₇=-4．因为a6，a7，an1，an2，…，ant，…成等比数列，故q=

a7

a6

=2．所以ant=a6•qt+1=-2•2t+1．又ant=10-2nt，所以n_t=2^t+1+5．从而b_m=10m-2^m+1-5．由此能求出M的取值范围．
（Ⅲ）假设存在正整数k，使得c_k＞c_k+1成立．由数列{c_n}的各项均为正整数，可得c_k≥c_k+1+1即c_k+1≤c_k-1．因为

ck+1+ck+2

2

 ≤ck+2，所以c_k+2≤2c_k+1-c_k≤c_k-2，由此能够推导出对于任意n∈N^*，都有c_n≤c_n+1成立．

解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差是d，
则a₁+2d=4，3a₁+3d=18，
解得a₁=8，d=-2．，
所以Sn=na1+

n(n-1)

2

d=-n2+9n．
由

Sn+Sn+2

2

-Sn+1=

1

2

[(-n2+9n)-(n+2)2+9(n+2)+2(n+1)2-18(n+1)]＜0，
得 

Sn+Sn+2

2

＜Sn+1，适合条件 ①．
又Sn=-n2+9n=-(n-

9

2

)2+

81

4

，
所以当n=4或5时，S_n取得最大值20，
即S_n≤20，适合条件 ②．
所以，{S_n}∈A．4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a₁=8，d=-2，
故a_n=8-2（n-1）=10-2n，
因此a₆=-2，a₇=-4．
因为a6，a7，an1，an2，…，ant，…成等比数列，
故q=

a7

a6

=2．
所以ant=a6•qt+1=-2•2t+1．
又ant=10-2nt，所以n_t=2^t+1+5．
从而b_m=10m-2^m+1-5．
因为

bm+bm+2

2

-bm+1=

(10m-2m+1-5)+[10(m+2)-2m+3-5]

2

-[10（m+1）-2^m+2-5]=-2^m＜0，
故

bm+bm+2

2

＜bm+1．
又b₁＜b₂＜b₃，并且b₃＞b₄＞b₅＞…，
而b₃=10×3-2³⁺¹-5=9，
故当m∈N^*时，b_m≤9．
综上，当m∈N^*时，{b_m}∈A，此时M的取值范围是[9，+∞）．9分
（Ⅲ）假设存在正整数k，使得c_k＞c_k+1成立．
由数列{c_n}的各项均为正整数，
可得c_k≥c_k+1+1，即c_k+1≤c_k-1．
∵

ck+1+ck+2

2

 ≤ck+2，
∴c_k+2≤2c_k+1-c_k
≤2（c_k-1）-c_k
=c_k-2，
由c_k+2≤2c_k+1-c_k及c_k＞c_k+1，
得c_k+2＜2c_k+1-c_k+1=c_k+1，
故c_k+2≤c_k+1-1．
∵

ck+1+ck+3

2

≤ck+2，
∴c_k+3≤2c_k+2-c_k+1≤2（c_k+1-1）-c_k+1=c_k+1-2≤c_k-3，
依此类推，可得c_k+m≤c_k-m（m∈N^*）．
设c_k=p（p∈N^*），则当m=p时，有c_k+p≤c_k-p=0，
这显然与数列{c_n}的各项均为正整数矛盾．
所以假设不成立，即对于任意n∈N^*，都有c_n≤c_n+1成立．14分．

点评：本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处理问题，考查数列的性质和应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．