Question

【题目】已知A（1， ）是离心率为 的椭圆E： + =1（a＞b＞0）上的一点，过A作两条直线交椭圆于B、C两点，若直线AB、AC的倾斜角互补．
（1）求椭圆E的方程；
（2）试证明直线BC的斜率为定值，并求出这个定值；
（3）△ABC的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值？若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵椭圆的离心率为 ，∴ ，∴a2=2b2

∴椭圆方程为

∵A（1， ）是椭圆上的点，

∴

∴b2=2

∴椭圆方程为

（2）证明：设直线AB的方程为 ，代入椭圆方程可得（k2+2）x2﹣ x+（ ）=0，∵x=1是方程的一个实根，

∴由韦达定理得，1+xB= ，故xB= ，

∴ = ，

∴B（ ， ），

∵AB、AC的倾斜角互补，故其斜率互为相反数，用﹣k代替k可得

C（ ， ），∴ = =

（3）解：设BC的方程为y= x+m，由 可得 ，

设方程的两根为x1，x2，于是|BC|= = ，

又A（1， ）到直线BC的距离为d= ，

∴ = ≤ = ，

当且仅当m2=4时等号成立，故△ABC的面积的最大值为

【解析】（1）利用A（1， ）是离心率为 的椭圆E： + =1（a＞b＞0）上的一点，建立方程，求出几何量，即可得到椭圆的标准方程；（2）设出直线方程，代入椭圆方程，确定B，C的坐标，即可求出直线BC的斜率为定值；（3）设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，确定三角形的面积，利用基本不等式，即可求得结论．