Question

7．已知f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf'（x）+f（x）≤0，对任意的0＜a＜b，则必有（　　）

• A． af（b）≤bf（a）
• B． bf（a）≤af（b）
• C． af（a）≤f（b）
• D． bf（b）≤f（a）

Answer 1

分析 先构造函数，再由导数与原函数的单调性的关系解决．

解答 解：xf′（x）+f（x）≤0⇒[xf（x）]′≤0⇒函数F（x）=xf（x）在（0，+∞）上为常函数或递减，
又0＜a＜b且f（x）非负，于是有：af（a）≥bf（b）≥0①$\frac{1}{{a}^{2}}$＞$\frac{1}{{b}^{2}}$＞0②，
①②两式相乘得：$\frac{f（a）}{a}$≥$\frac{f（b）}{b}$≥0⇒af（b）≤bf（a），
故选：A．

点评 本题的难点在对不等式②的设计，需要经验更需要灵感．