Question

5．已知函数f（x）=x³+bx²+（b+3）x，在x=1处取极值；
（1）求b及f（x）在区间[-1，1]上的最小值；
（2）若函数g（x）=f（x）-mx在区间[-2，2]上为减函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出函数f（x）的导数，通过f′（1）=0，求出b的值即可；
（2）问题转化为m≥3x²-4x+1在[-2，2]恒成立，令h（x）=3x²-4x+1，x∈[-2，2]，利用二次函数的性质，求出h（x）的最大值，从而求出m的范围．

解答 解：（1）f′（x）=3x²+2bx+b+3，
∵函数f（x）在x=1处取极值，
∴f′（1）=3+2b+b+3=0，解得：b=-2，
∴f（x）=x³-2x²+x，f′（x）=3x²-4x+1=（3x-1）（x-1），
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜$\frac{1}{3}$，
令f′（x）＜0，解得：$\frac{1}{3}$＜x＜1，
∴函数f（x）在[-1，$\frac{1}{3}$）递增，在（$\frac{1}{3}$，1]递减，
∴f（x）的最小值是f（-1）或f（1），
而f（-1）=-4，f（1）=0，
∴函数f（x）的最小值是-4；
（2）g（x）=f（x）-mx=x³-2x²+x-mx，
∴g′（x）=3x²-4x+1-m，
若函数g（x）=f（x）-mx在区间[-2，2]上为减函数，
则：g′（x）≤0在[-2，2]上恒成立，
即：m≥3x²-4x+1在[-2，2]恒成立，
令h（x）=3x²-4x+1，x∈[-2，2]，
对称轴x=$\frac{2}{3}$，
∴h（x）在[-2，$\frac{2}{3}$）递减，在（$\frac{2}{3}$，2]递增，
∴h（x）的最大值是：f（-2）=21，
∴m≥21．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，函数恒成立问题，是一道中档题．