Question

19．经过点（3，0），离心率为$\frac{5}{3}$的双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1．

Answer 1

分析 由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{3}$，且a=3，可得c=5，那么利用a，b，c关系得到b²=c²-a²=16，从而求得它的标准方程．

解答 解：因为设经过点（3，0），离心率为$\frac{5}{3}$的双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，那么可知e=$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{3}$，且a=3，
因此c=5，那么利用a，b，c关系得到b²=c²-a²=16，
∴双曲线的标准方程为 $\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1．

点评 本题主要考查双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题．