Question

选修4-4：坐标系与参数方程：
（1）已知二次函数y=x2-2xsecα+

2+sin2α

2cos2α

，（α为参数，cosα≠0）求证此抛物线顶点的轨迹是双曲线．
（2）长为2a的线段两端点分别在直角坐标轴上移动，从原点向该线段作垂线，垂足为P，求P的轨迹的极坐标方程．

Answer 1

分析：（1）把二次函数配方可得y=（x-secα）²+tanα，解得

x=secα y=tanα

，故顶点的坐标为（secα，tanα），利用同角三角函数的基本关系消去α得到顶点轨迹方程，从而得出结论．
（2）再设线段AB中点P的坐标为（ρ，θ），根据等面积法

1

2

OA•OB=

1

2

AB•OP，化简求得P的轨迹的极坐标方程．

解答：解：（1）把二次函数y=x2-2xsecα+

2+sin2α

2cos2α

 配方得：y=（x-secα）²+tanα；…（2分）
解得

x=secα y=tanα

…（4分）所以顶点的坐标为（secα，tanα），
利用同角三角函数的基本关系消去α得 x²-y²=1，故顶点轨迹为双曲线．…（5分）
（2）再设线段AB中点P的坐标为（ρ，θ），则直角三角形OAB的面积为
，

1

2

OA•OB=

1

2

AB•OP，故有

1

2

•

ρ

cosθ

•

ρ

sinθ

=

1

2

•2a•ρ，
化简可得 ρ=asin2θ，P的轨迹的极坐标方程为 ρ=asin2θ．…（10分）

点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，简单曲线的极坐标方程，属于基础题．