【题目】已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26,{an}的前n项和为Sn.
(1)求an及Sn;
(2)令bn=(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn.
【答案】(1) an=2n+1,Sn=n2+2n.
(2) Tn=.
【解析】
试题分析:(1)设数列{an}的首项及公差d,将用及d来表示,列出方程组,可解出及d,再由通项公式及前n项公式求出及;(2)将代入所给表达式可求出的表达式,用裂项求和可求出.
试题解析:(1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,由于a3=7,a5+a7=26,
所以a1+2d=7,2a1+10d=26,
解得a1=3,d=2.
由于an=a1+(n-1)d,Sn=,
所以an=2n+1,Sn=n(n+2).
(2)因为an=2n+1,所以-1=4n(n+1),
因此bn==.
故Tn=b1+b2+…+bn
所以数列{bn}的前n项和 .
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【题目】在平面直角坐标系中,已知曲线的参数方程为(, 为参数).以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系,直线的极坐标方程为.
(1)当时,求曲线上的点到直线的距离的最大值;
(2)若曲线上的所有点都在直线的下方,求实数的取值范围.
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【题目】某网站调查2016年大学毕业生就业状况,其中一项数据显示“2016年就业率最高学科”为管理学,高达(数据来源于网络,仅供参考).为了解高三学生对“管理学”的兴趣程度,某校学生社团在高校高三文科班进行了问卷调查,问卷共100道选择题,每题1分,总分100分,社团随机抽取了100名学生的问卷成绩(单位:分)进行统计,得到频率分布表如下:
组号 | 分组 | 男生 | 女生 | 频数 | 频率 |
第一组 | 3 | 2 | 5 | 0.05 | |
第二组 | 17 | ||||
第三组 | 20 | 10 | 30 | 0.3 | |
第四组 | 6 | 18 | 24 | 0.24 | |
第五组 | 4 | 12 | 16 | 0.16 | |
合计 | 50 | 50 | 100 | 1 |
(1)求频率分布表中, , 的值;
(2)若将得分不低于60分的称为“管理学意向”学生,将低于60分的称为“非管理学意向”学生,根据条件完成下面列联表,并据此判断是否有的把握认为是否为“管理学意向”与性别有关?
非管理学意向 | 管理学意向 | 合计 | |
男生 | |||
女生 | |||
合计 |
(3)心理咨询师认为得分低于20分的学生可能“选择困难”,要从“选择困难”的5名学生中随机抽取2名学生进行心理辅导,求恰好有1名男生,1名女生被选中的概率.
参考公式: ,其中.
参考临界值:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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【题目】已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴,与交于、两点,线段的中点为.
(1)证明:直线的斜率与的斜率的乘积为定值;
(2)若过点,延长线段与交于点,四边形能否为平行四边形?若能,求出的方程;若不能,说明理由.
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【题目】已知椭圆的焦距为2,过短轴的一个端点与两个焦点的圆的面积为,过椭圆的右焦点作斜率为的直线与椭圆相交于两点,线段的中点为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过点垂直于的直线与轴交于点,且,求的值.
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【题目】下列判断中正确的是( )
A. “若,则有实数根”的逆否命题是假命题
B. “”是“直线与直线平行”的充要条件
C. 命题“”是真命题
D. 命题“”在时是假命题
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