Question

10．设命题$p：\frac{{2{x^2}}}{x+1}＜1$，命题q：x²-（2a-1）x+a（a-1）≤0，若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 求出命题p，q的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义建立不等式关系进行求解即可．

解答 解：由命题$p：\frac{{2{x^2}}}{x+1}＜1$，得 $\frac{2{x}^{2}-x-1}{x+1}$=$\frac{（2x+1）（x-1）}{x+1}$＜0，解之得-$\frac{1}{2}$＜x＜1或x＜-1，
由x²-（2a-1）x+a（a-1）≤0即（x-a）[x-（a-1）]≤0，
解得a-1≤x≤a，
因为￢p是￢q的充分不必要条件，由命题的等价性知，q是p的充分不必要条件，
则$\left\{\begin{array}{l}{a-1＞-\frac{1}{2}}\\{a＜1}\end{array}\right.$或a＜-1，即$\frac{1}{2}$＜a＜1或a＜-1．
则a的取值范围为：（$\frac{1}{2}$，1）∪（-∞，-1）．

点评 本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用逆否命题的等价性将￢p是￢q的充分不必要条件，转化为q是p的充分不必要条件是解决本题的关键．