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7.(Ⅰ)运用S(α+β)及C(α+β)证明:tan(α+β)=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$;
(Ⅱ)在△ABC中,证明tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.

分析 (Ⅰ)由条件利用同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式化简tan(α+β),即可证得结论.
(Ⅱ)△ABC中,由tanA=-tan(B+C) 利用两角和差的正切公式,求得tanB+tanC=-tanA+tanAtanBtanC,代入要证等式的左边,即可证得结论.

解答 (Ⅰ)证明:∵tan(α+β)=$\frac{sin(α+β)}{cos(α+β)}$=$\frac{sinαcosβ+cosαsinβ}{cosαcosβ-sinαsinβ}$=$\frac{\frac{sinαcosβ}{cosαcosβ}+\frac{cosαsinβ}{cosαcosβ}}{1-\frac{sinαsinβ}{cosαcosβ}}$=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$,
∴tan(α+β)=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$.
(Ⅱ)证明:△ABC中,tanA=-tan(B+C)=-$\frac{tanB+tanC}{1-tanBtanC}$,
∴tanB+tanC=-tanA+tanAtanBtanC,
∴tanA+tanB+tanC=tanA-tanA+tanAtanBtanC=tanAtanBtanC,
∴tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC成立.

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系,两角和差的三角公式,属于基础题.

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