Question

7．（Ⅰ）运用S_（α+β）及C_（α+β）证明：tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$；
（Ⅱ）在△ABC中，证明tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式化简tan（α+β），即可证得结论．
（Ⅱ）△ABC中，由tanA=-tan（B+C） 利用两角和差的正切公式，求得tanB+tanC=-tanA+tanAtanBtanC，代入要证等式的左边，即可证得结论．

解答 （Ⅰ）证明：∵tan（α+β）=$\frac{sin（α+β）}{cos（α+β）}$=$\frac{sinαcosβ+cosαsinβ}{cosαcosβ-sinαsinβ}$=$\frac{\frac{sinαcosβ}{cosαcosβ}+\frac{cosαsinβ}{cosαcosβ}}{1-\frac{sinαsinβ}{cosαcosβ}}$=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$，
∴tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$．
（Ⅱ）证明：△ABC中，tanA=-tan（B+C）=-$\frac{tanB+tanC}{1-tanBtanC}$，
∴tanB+tanC=-tanA+tanAtanBtanC，
∴tanA+tanB+tanC=tanA-tanA+tanAtanBtanC=tanAtanBtanC，
∴tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC成立．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式，属于基础题．