Question

已知f（x）=x³+x（x∈R），?

（1）判断f（x）在（－∞，+∞）上的单调性，并证明；?

（2）求证：满足f（x）=a（a为常数）的实数x至多只有一个.?

Answer 1

（1）解:设x₁<x₂，即x₁－x₂<0,?

f（x₁）－f（x₂）=（x₁³+x₁）－（x₂³+x₂）=（x₁³－x₂³）+（x₁－x₂）=（x₁－x₂）（x₁²+x₁x₂+x₂²+1）

=（x₁－x₂）［（x₁+）²+x₂²+1］<0.?

∴f（x₁）－f（x₂）<0，即f（x₁）<f（x₂）.?

因此f（x）=x³+x在R上是增函数.?

（2）证明:假设x₁<x₂且f（x₁）=f（x₂）=a,?

由f（x）在R上递增,∴f（x₁）<f（x₂）.?

此与f（x₁）=f（x₂）矛盾.?

∴原命题正确.?

点评:证明二次函数在给定区间上的单调性时，变形的主要手段是配方，通过配方达到判断符号的目的.