Question

给出下列四个命题：
①已知a，b，m都是正数，且

a+m

b+m

＞

a

b

，则a＜b；
②若函数f（x）=lg（ax+1）的定义域是{x|x＜1}，则a＜-1；
③已知x∈（0，π），则y=sinx+

2

sinx

的最小值为2

2

；
④已知a、b、c成等比数列，a、x、b成等差数列，b、y、c也成等差数列，则

a

x

+

c

y

的值等于2．其中正确命题的序号是

①④

．

Answer 1

分析：①由

a+m

b+m

＞

a

b

整理可得bm＞am，结合a＞0，b＞0，m＞0可得
②由题意可得ax＞-1，由函数定义域是{x|x＜1}可得a=-1；
③由x∈（0，π）可得sinx∈（0，1]，令t=sinx，结合y=sinx+

2

sinx

=t+

2

t

在（0，1]上单调递减可求函数的最小值
④由题意可得ac=b²，2x=a+b，2y=b+c，代入

a

x

+

c

y

=

2a

a+b

+

2c

b+c

整理可求

解答：解：①由

a+m

b+m

＞

a

b

可得ab+bm＞ab+am即bm＞am，由a＞0，b＞0，m＞0可得a＜b；①正确
②由题意可得，ax+1＞0可得ax＞-1，由函数f（x）=lg（ax+1）的定义域是{x|x＜1}可得a=-1；②错误
③由x∈（0，π）可得sinx∈（0，1]，令t=sinx，则y=sinx+

2

sinx

=t+

2

t

在（0，1]上单调递减，当t=sinx=1时函数有最小值为3；③错误
④由题意可得ac=b²，2x=a+b，2y=b+c，则

a

x

+

c

y

=

2a

a+b

+

2c

b+c

=

2ab+2ac+2ac+2bc

(a+b)(b+c)

=

2ab+2ac+2b2+2bc

ab+ac+b2+bc

=2，故④正确
故答案为：①④

点评：本题主要综合考查了不等式的基本性质、对数函数的性质及三角函数的性质，基本不等式的应用，等差等比中项的应用，属于知识的综合应用．