Question

18．“a≤0”是“函数f（x）=|x（ax+1）|在区间（-∞，0）内单调递减”的（　　）

• A． 充分不必要条件
• B． 必要不充分条件
• C． 充分必要条件
• D． 既不充分也不必要条件

Answer 1

分析 根据二次函数的单调性，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

解答 解：如图示：
，
当a＜0时，f（x）=|ax²+x|═|a（x+$\frac{1}{2a}$）²-$\frac{1}{4a}$|，
则函数f（x）的对称轴为x=-$\frac{1}{2a}$＞0，
又f（x）=|ax²+x|=0得两个根分别为x=0或x=-$\frac{1}{a}$＞0，
∴函数f（x）=|ax²+x|在区间（-∞，0）内单调递减．函数在[-$\frac{1}{2a}$，-$\frac{1}{a}$]上单调递减，
a=0时，f（x）=|x|，在（-∞，0）递减，
当a＞0时，f（x）=|ax²+x|═|a（x+$\frac{1}{2a}$）²-$\frac{1}{4a}$|，
则函数f（x）的对称轴为x=-$\frac{1}{2a}$＜0，
又f（x）=|ax²+x|=0得两个根分别为x=0或x=-$\frac{1}{a}$＜0，
∴函数f（x）=|ax²+x|在区间（-∞，-$\frac{1}{a}$）内单调递减，在[-$\frac{1}{a}$，-$\frac{1}{2a}$]上单调递增，在（-$\frac{1}{2a}$，0）递减，不符合．
∴“a≤0”是“函数f（x）=|（ax+1）x|在区间（-∞，0）内单调递减”的充分必要条件．
故选：C．

点评 本题主要考查函数单调性的判断和应用，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．