Question

20．已知函数f（x）=aln（x-1）+x²-3x+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）若函数f （x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程为x+y-1=0，求a，b的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间〔2，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，由题意可得f（2）=-1，f′（2）=-1，列出方程，解方程可得a，b的值；
（Ⅱ）f′（x）=$\frac{a}{x-1}$+2x-3≥0在区间〔2，+∞）上恒成立，即有a≥（x-1）（3-2x）对x≥2恒成立，运用二次函数的单调性可得最大值，即可得到a的范围．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=aln（x-1）+x²-3x+b的导数为f′（x）=$\frac{a}{x-1}$+2x-3，
函数f （x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程为x+y-1=0，
即有f（2）=-1，f′（2）=-1，
即b-2=-1，a+1=-1，解得a=-2，b=1；
（Ⅱ）f′（x）=$\frac{a}{x-1}$+2x-3≥0在区间〔2，+∞）上恒成立，
即有a≥（x-1）（3-2x）对x≥2恒成立，
由y=（x-1）（3-2x）=-2x²+5x-3的对称轴为x=$\frac{5}{4}$＜2，
可得函数y在[2，+∞）递减，即有x=2处取得最大值-1，
则a≥-1，即实数a的取值范围为[-1，+∞）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和二次函数的最值的求法，属于中档题．