Question

已知椭圆C：+=1(a＞b＞0)，直线y=x+与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切，F₁，F₂为其左、右焦点，P为椭圆C上任一点，△F₁PF₂的重心为G，内心为I，且IG∥F₁F₂。⑴求椭圆C的方程。⑵若直线L：y=kx+m(k≠0)与椭圆C交于不同两点A，B且线段AB的垂直平分线过定点C(，0)求实数k的取值范围。

Answer 1

解：⑴设P(x₀，y₀)，x₀±a，则G(，) ∵IG∥F₁F₂ ∴Iy=  |F₁F₂|=2c
∴S△F₁PF₂=·|F₁F₂|·|y₀|=(|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|) · ||　　　……………………（4分）　
∴2c·3="2a+2c " ∴e== 又∵b= ∴b= ∴a=2∴椭圆C的方程为+=1(6分)
⑵设A(x₁, y₁)、B(x₂, y₂)   ，消去y  (3+4k²)x²+8kmx+4m²－12=0
∴△=(8km)²－4(3+4k²)(4m²－12)＞0，即m²＜4k²+3又∵x₁+x₂=－，则y₁+y₂=
∴线段AB的中点P的坐标为(－, )                    …………(8分)   
又线段AB的垂直平分线l′的方程为y= (x－)                     …………(9分)
点P在直线l′上，=－ (－－)                   …………(10分)
∴4k²+6km+3="0 " ∴m=－(4k²+3) ∴＜4k²+3， ∴k²＞  
∴k＞或k＞－ ∴k的取值范围是(－∞，－)∪(，+∞)  …………(13分)

略