Question

已知函数f(x)=ln(x+a)，g(x)=

1

6

x3+b，直线l：y=x与y=f（x）的图象相切．（1）求实数a的值；（2）若方程f（x）=g（x）在（0，+∞）上有且仅有两个解x₁，x₂．①求实数b的取值范围； ②比较x₁x₂+1与x₁+x₂的大小．

Answer 1

分析：（1）先求函数f（x）的导函数f′（x），设出切点坐标P（x₀，y₀），利用导数的几何意义，f′（x₀）=1，且点P在切线和曲线上，列方程组即可解得a的值
（2）构造函数h（x）=g（x）-f（x），将问题转化为函数h（x）有两个零点x₁，x₂．求h（x）的导函数，解不等式得其单调区间和极值，①根据零点存在性定理，由极值及区间端点出函数值的正负，列不等式即可解得b的范围，②由①可知零点的范围，利用作差法即可比较x₁x₂+1与x₁+x₂的大小

解答：解：（1）设切点P（x₀，y₀）
∵f′(x)=

1

x+a

，y=x与y=f（x）的图象相切
∴

1 x   0 +a =1 y   0 =ln( x   0 +a)= x   0

∴x₀=y₀=0    
∴a=1
（2）令h(x)=g(x)-f(x)=

1

6

x3-ln(x+1)+b
∵h′(x)=

1

2

x2-

1

x+1

=

(x-1)(x2+2x+2)

2(x+1)

  （x＞0）
由h'（x）＜0，得x∈（0，1），由h'（x）＞0，得x∈（1，+∞）
∴h（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增．
∴h（x）在x=1处取得极小值h（1）=

1

6

+b-ln2
①依题意，若方程f（x）=g（x）在（0，+∞）上有且仅有两个解x₁，x₂．
需：

h(1)= 1 6 +b-ln2＜0 h(0)=b＞0 x→+∞时，h(x)＞0

解得0＜b＜ln2-

1

6

②∵h（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增．
∴h（x）=0的根一个在（0，1）内，一个在（1，+∞）内，
不妨设0＜x₁＜1，x₂＞1
∴x₁x₂+1-（x₁+x₂）=（x₁-1）（x₂-1）＜0
∴x₁x₂+1＜x₁+x₂．

点评：本题考查了导数的几何意义及其应用，利用导数研究函数的单调性和极值解决根的存在和根的个数问题的方法，作差法证明不等式的方法