【题目】选修4﹣﹣4;坐标系与参数方程
已知动点P,Q都在曲线C: 上,对应参数分别为β=α与β=2α(0<α<2π),M为PQ的中点.
(1)求M的轨迹的参数方程
(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.
【答案】
(1)解:根据题意有:P(2cosα,2sinα),Q(2cos2α,2sin2α),
∵M为PQ的中点,故M(cosα+cos2α,sin2α+sinα),
∴求M的轨迹的参数方程为: (α为参数,0<α<2π).
(2)解:M到坐标原点的距离d= = (0<α<2π).
当α=π时,d=0,故M的轨迹过坐标原点.
【解析】(1)根据题意写出P,Q两点的坐标:P(2cosα,2sinα),Q(2cos2α,2sin2α),再利用中点坐标公式得PQ的中点M的坐标,从而得出M的轨迹的参数方程;(2)利用两点间的距离公式得到M到坐标原点的距离d= = ,再验证当α=π时,d=0,故M的轨迹过坐标原点.
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【题目】如图,在平面斜坐标系中,,平面上任意一点关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的:若(其中,分别为与轴,轴同方向的单位向量),则点的斜坐标为
(1)若点在斜坐标系中的坐标为,求点到原点的距离.
(2)求以原点为圆心且半径为的圆在斜坐标系中的方程.
(3)在斜坐标系中,若直线交(2)中的圆于两点,则当为何值时,的面积取得最大值?并求此最大值.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知圆的方程为,点的坐标为.
(1)求过点且与圆相切的直线方程;
(2)过点任作一条直线与圆交于不同两点,,且圆交轴正半轴于点,求证:直线与的斜率之和为定值.
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【题目】如图,三角形所在的平面与长方形所在的平面垂直,.点是边的中点,点分别在线段,上,且.
(1)证明:;
(2)求二面角的正切值;
(3)求直线与直线PG所成角的余弦值.
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【题目】若函数在区间上的值域为,则称区间为函数的一个“倒值区间”.定义在上的奇函数,当时,
(Ⅰ)求函数的解析式;
(Ⅱ)求函数在上的“倒值区间”;
(Ⅲ)记函数在整个定义域内的“倒值区间”为,设,则是否存在实数,使得函数的图像与函数的图像有两个不同的交点?若存在,求出的值;若不存在,试说明理由.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,焦点在x轴上的椭圆C: =1经过点(b,2e),其中e为椭圆C的离心率.过点T(1,0)作斜率为k(k>0)的直线l交椭圆C于A,B两点(A在x轴下方).
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过点O且平行于l的直线交椭圆C于点M,N,求 的值;
(3)记直线l与y轴的交点为P.若 = ,求直线l的斜率k.
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