Question

AB是过抛物线y²=4x焦点的一条弦，已知AB=20，则直线AB的方程为

x-2y-1=0或x+2y-1=0

．

Answer 1

分析：由y²=4x，准线x=-

p

2

=-1，焦点（1，0），设y=k（x-1），代入y²=4x，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

2k2+4

k2

，由AB=AF+BF，抛物线到焦点距离等于到准线距离，知x₁+x₂=

2k2+4

k2

=18，由此能求出直线方程．

解答：解：∵y²=4x，∴2p=4，
所以准线x=-

p

2

=-1，焦点（1，0），
若直线斜率不存在，则AB是x=1，y²=4，则显然AB=20不成立，
所以斜率存在．设y=k（x-1），代入y²=4x，
得k²x²-2k²x+k²=4x，
即k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

2k2+4

k2

，
又AB=AF+BF，抛物线到焦点距离等于到准线距离，
则A到准线距离=x₁-（-1）=x₁+1，B到准线距离=x₂+1，
所以x₁+1+x₂+1=AF+BF=20，
∴x₁+x₂=

2k2+4

k2

=18，
解得k=±

1

2

，所以所求的直线方程为x+2y-1=0，或x-2y+1=0．

点评：本题考查直线方程的求法，具体涉及到抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．