Question

一个多面体的三视图和直观图如图所示，其中M、N分别是AB、SC的中点，P是SD上的一动点．
（1）求证BP⊥AC；
（2）当点P落在什么位置时，AP平行于平面SMC？
（3）求三棱锥B-NMC的体积．

Answer 1

分析：（1）根据多面体的三视图和直观图，SD⊥底面ABCD，且ABCD为正方形，可以证明AC⊥面SDB，从而BP⊥AC．
（2）当P为SD中点时，证明AMNP是平行四边形，得出AP∥MN，根据直线和平面平行的判定定理证出AP∥平面SMC．
（3）体积转化：V _B-NMC=V _N-MCB 则体积易求．

解答：解：（1）根据多面体的三视图和直观图，SD⊥底面ABCD，且ABCD为正方形，∴AC⊥BD，AC⊥SD，BD∩SD=D，∴AC⊥面SDB．BP?面SDB∴BP⊥AC．
（2）当P为SD中点时，AP∥平面SMC．连接PN，MN，∵M、N分别是AB、SC的中点，∴PN∥CD，PN=

1

2

CD，AM∥CD，AM=

1

2

CD，∴AMNP是平行四边形，∴AP∥MN，∵AP?面SMC，MN?面SMC，∴AP∥平面SMC
（3）S△MCB=

1

2

×BM×BC=

1

2

×

1

2

×1=

1

4

，N到面ABCD的高h=

1

2

SD=1，
∴V _B-NMC=V _N-MCB=

1

3

S△MCB×h=

1

3

×

1

4

×1=

1

12

．

点评：本题考查直线直线，直线和平面的位置关系，体积的计算，考查空间想象、转化、计算的能力．在有关于平行的位置关系时，找平行线是解决问题的一个重要技巧，一般的“遇到中点找中点，平行线即可出现”．