Question

【题目】对于数列，如果存在正整数，使得对一切，都成立，则称数列为等差数列．

（1）若数列为2-等差数列，且前四项分别为2，-1，4，-3，求的值；

（2）若既是2-等差数列，又是3-等差数列，证明：是等差数列．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）证明见解析.

【解析】

（1）根据数列的递推关系写出第8项和第9项，即可得到答案；

（2）根据既是2-等差数列，得，则和均成等差数列，设等差数列公差分别为；因为是3-等差数列，所以，则成等差数列，设公差为；取数列中的特殊项可得，并设，从而得到，再根据的关系，将等差数列的通项写成，即可证得结论.

（1）∵，，，，，

∴.

（2）若既是2-等差数列，即，则和均成等差数列，

设等差数列公差分别为，

∵是3-等差数列，∴，则成等差数列，设公差为，

既是中的项，也是中的项，

∴，

既是中的项，也是中的项，

∴.

设，则，

，

又，，

∴，

，

综上所得，

为等差数列.