Question

9．已知f（x）=$\sqrt{2x-1}$．
（1）求它的反函数．
（2）判断f（x）的单调性，并证明．
（3）画出f（x）与f^-1（x）的图象．

Answer 1

分析 （1）由y=$\sqrt{2x-1}$解出x，然后将x，y互换即可得出答案，注意自变量的取值范围；
（2）利用复合函数单调性证明；
（3）做出f^-1（x）的图象，根据f（x）与f^-1（x）的图象关于y=x对称作出f（x）的图象．

解答 解：（1）∵y=$\sqrt{2x-1}$，
∴x=$\frac{{y}^{2}+1}{2}$，（y≥0）
∴f^-1（x）=$\frac{{x}^{2}+1}{2}$，（x≥0）
（2）f（x）在[$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函数，证明如下：
令g（x）=$\sqrt{x}$，h（x）=2x-1，
则g（x）在[0，+∞）上是增函数，h（x）在[$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函数，
∴g（h（x））=$\sqrt{2x-1}$在[$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函数．
即f（x）在[$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函数．
（3）函数图象如下：

点评 本题考查了反函数解析式的求解，函数单调性的证明及函数图象变换．