Question

9．已知点N是点M（-3，0）在直线ax+by+c=0上的射影，若a，b，c成等差数列，且点P的坐标是（2，2），则PN的取值范围是[3$\sqrt{2}$-$\sqrt{5}$，3$\sqrt{2}$+$\sqrt{5}$]．

Answer 1

分析 由a，b，c成等差数列得到a-2b+c=0，说明动直线ax+by+c=0恒过定点Q（1，-2），点N是点M（-3，0）在直线ax+by+c=0上的射影，可知N在以MQ为直径的圆上，求出圆的圆心坐标和圆的半径，再由两点间的距离公式求出圆心到N点的距离，则PN的最大值为圆心到N点的距离加半径，PN的最大值为圆心到N点的距离减半径，进而得到答案．

解答 解：∵a，b，c成等差数列，
∴2b=a+c，即a-2b+c=0，
可得方程ax+by+c=0恒过Q（1，-2），
又点N是点M（-3，0）在直线ax+by+c=0上的射影，
∴∠MNQ=90°，
∴N在以MQ为直径的圆上，
∴由中点坐标公式求得圆的圆心C坐标为（-1，-1），
半径r=$\sqrt{5}$，
又点P的坐标是（2，2），
∴|CP|=3$\sqrt{2}$，
则PN的最大值是3$\sqrt{2}$+$\sqrt{5}$，
PN的最小值是3$\sqrt{2}$-$\sqrt{5}$，
PN的取值范围是[3$\sqrt{2}$-$\sqrt{5}$，3$\sqrt{2}$+$\sqrt{5}$]；
故答案为：[3$\sqrt{2}$-$\sqrt{5}$，3$\sqrt{2}$+$\sqrt{5}$]

点评 本题考查了等差数列的性质，训练了直线系方程的应用，是直线方程与圆的综合应用，是中档题．