Question

6．如图，四凌锥P-ABCD而底面ABCD是矩形，侧面PAD是等腰直角三角形∠APD=90°，且平面PAD⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PCD；
（Ⅱ）在AD=2，AB=4，求三棱锥P-ABD的体积；
（Ⅲ）在条件（Ⅱ）下，求四棱锥P-ABCD外接球的表面积．

Answer 1

分析 （I）由底面ABCD为矩形可得CD⊥AD，由平面PAD⊥平面ABCD，从而CD⊥平面PAD，得到结论；
（II）由（I）证明可知PA为三棱锥P-ABD的高，底面是直角三角形，代入公式计算即可得到棱锥体积；
（III）取BD中点M，过M作MN⊥平面ABCD，则球心O在直线MN上，连由OP=OA可知OM=$\frac{1}{2}$PA=1，于是球的半径OA=$\sqrt{A{M}^{2}+O{M}^{2}}$，从而求出球的表面积．

解答 解：（I）∵四边形ABCD是矩形，∴AD⊥CD，
又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD?平面ABCD，
∴CD⊥平面PAD，∵CD?平面PCD，
∴平面PAD⊥平面PCD．
（II）过P作PE⊥AD，垂足为E，∵△PAD是等腰直角三角形，∠APD=90°，
∴PE=$\frac{1}{2}AD$=1．
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PE?平面PAD，PE⊥AD，
∴PE⊥平面ABCD，
∴V_棱锥P-ABD=$\frac{1}{3}$S_△ABD•PE=$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{2}$•2•4•1=$\frac{4}{3}$．
（III）取BD中点M，过M作MN⊥平面ABCD，则球心O在直线MN上，
连接AM，则AM=$\frac{1}{2}$$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
∵PE⊥平面ABCD，∴MN∥PE．
∵四棱锥P-ABCD内接于球，
∴OP=OA，
∴OM=$\frac{1}{2}$PE=$\frac{1}{2}$，
∴OA=$\sqrt{O{M}^{2}+A{M}^{2}}$=$\frac{\sqrt{21}}{2}$．
∴S_⊙O=4πOA²=21π．

点评 本题考查了面面垂直的判定，几何体体积和圆内接几何体的特征，正确找到圆心位置是关键．