Question

已知f（x）是定义在R上的函数，设g(x)=

f(x)+f(-x)

2

，h(x)=

f(x)-f(-x)

2

①试判断g（x）与h（x）的奇偶性；
②试判断g（x），h（x）与f（x）的关系；
③由此你能猜想得出什么样的结论，并说明理由．

Answer 1

分析：①根据函数奇偶性的定义，我们易判断出g（-x）与g（x），h（-x）与h（x）的关系，进而判断出函数g（x）与h（x）的奇偶性；
②由已知中函数g（x）与h（x）的解析式，我们易判断g（x），h（x）与f（x）的关系；
③根据①②的结论，通过归纳分析即可得到结论．

解答：解：①∵g(-x)=

f(-x)+f(x)

2

=g（x）
∴函数g（x）为偶函数
又∵h(-x)=

f(-x)-f(x)

2

=-

f(x)-f(-x)

2

=-h（x）
∴函数h（x）为奇函数
②∵g(x)=

f(x)+f(-x)

2

，h(x)=

f(x)-f(-x)

2

∴f（x）=g（x）+h（x）
③由①②得，任何一个定义域为R的函数都可以分解为一个奇函数和一个偶函数相加的形式．

点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的判断，熟练掌握函数奇偶性的定义是解答本题的关键．