Question

已知f（x）=x²+bx+c为偶函数，曲线y=f（x）过点（2，5），g（x）=（x+m）f（x）．若曲线y=g（x）有斜率为0的切线，则实数m的取值范围为

（-∞，-

3

]∪[

3

，+∞），

．

Answer 1

分析：据偶函数的定义f（-x）=f（x）求出b值，将点（2，5）代入得c值，据导数在切点处的导数值为切线斜率，由g′（x）=0有实数解，由△≥0求得m得范围．

解答：解：已知f（x）=x²+bx+c为偶函数，故有f（-x）=f（x）恒成立，即x² -bx+c=x²+bx+c 恒成立，故有b=0，f（x）=x²+c．
又曲线y=f（x）过点（2，5），得2²+c=5，有c=1．
∵g（x）=（x+m）f（x）=x³+mx²+x+m，从而g′（x）=3x²+2mx+1，
∵曲线y=g（x）有斜率为0的切线，故有g′（x）=0有实数解．即3x²+2mx+1=0有实数解．
此时，有△=4m²-12≥0解得 m∈（-∞，-

3

]∪[

3

，+∞），
故答案为 （-∞，-

3

]∪[

3

，+∞），

点评：本题考查偶函数的定义；利用导数几何意义求曲线切线方程；利用导数求函数单调区间，属于中档题．