Question

已知奇函数f（x）对任意x，y∈R，总有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-

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．
（1）求证：f（x）是R上的减函数．
（2）求f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值．
（3）若f（x）+f（x-3）≤-2，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）令x=y=0⇒f（0）=0，再令y=-x即可证得f（-x）=-f（x），利用函数的单调性的定义与奇函数的性质，结合已知即可证得f（x）是R上的减函数．
（2）利用f（x）在R上是减函数可知f（x）在[-3，3]上也是减函数，易求f（3）=-2，从而可求得f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值；
（3）依题意，f（x）+f（x-3）≤-2?f（2x-3）≤f（3）?2x-3≥3，从而可求故实数x的取值范围．

解答：解：（1）证明：令x=y=0，则f（0）=0，令y=-x则f（-x）=-f（x），---2’
在R上任意取x₁，x₂，且x₁＜x₂，则△x=x₂-x₁＞0，△y=f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）------4分
∵x₂＞x₁，
∴x₂-x₁＞0，
又∵x＞0时，f（x）＜0，
∴f（x₂-x₁）＜0，即f（x₂）-f（x₁）＜0，有定义可知函数f（x）在R上为单调递减函数．--6分
（2）∵f（x）在R上是减函数，
∴f（x）在[-3，3]上也是减函数．
又f（3）=f（2）+f（1）=f（1）+f（1）+f（1）=3×（-

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）=-2，
由f（-x）=-f（x）可得f（-3）=-f（3）=2，
故f（x）在[-3，3]上最大值为2，最小值为-2．------10分
（3）∵f（x）+f（x-3）≤-2，由（1）、（2）可得f（2x-3）≤f（3）
∴2x-3≥3，
∴x≥3，
故实数x的取值范围为[3，+∞）．------12分

点评：本题考查抽象函数及其应用，突出考查函数的奇偶性、单调性与最值的综合应用，考查转化思想与方程思想的综合应用，属于中档题．